Question

【题目】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：

（1）求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；

（2）如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　；

（3）如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）180°；（3）∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠A

【解析】

(1)连接AP并延长，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠BPC=∠1+∠A+∠2；

(2)先把五角星五个“角”归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定理解答即可；

(3)分别连接AP、AD、AG并延长，再根据三角形外角的性质解答即可．

(1)连接AP并延长，如图：

则∠3=∠2+∠BAP，∠4=∠1+∠PAC，

∴∠BPC=∠1+∠PAC+∠2+∠BAP =∠1+∠A+∠2；

(2)如图：

∵∠1是△DBF的外角，

∴∠1=∠B+∠D，

∵∠2是△ECG的外角，

∴∠2=∠C+∠E，

∵∠1、∠2、∠A是△AFG的内角，

∴∠1+∠2+∠A=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

(3) ∠4+∠5=∠1+∠2++∠3+∠A．理由如下：
作射线AP、AG，连结AD，如图，

由（1）得∠4=∠3+∠BAD+∠ADP，∠5=∠ADG+∠1+∠DAC，
∴∠4+∠5=∠1+∠BAD+∠ADP+∠ADG+∠3+∠DAC=∠1+∠2+∠3+∠A．

故答案为：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．