Question

【题目】如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）证明见试题解析；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF－DE =AD．

【解析】

试题分析：（1）证明△APE≌△DPF，得到AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，

（2）取AD的中点M，连接PM，可证明△MDP是等边三角形，△MPE≌△FPD，得到ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，

（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF－DE =AD．

试题解析：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，∴∠APE=∠DPF，在△APE和△DPF中，∵∠APE=∠DPF，PA=PD，∠PAE=∠PDF，∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE=DF，∴DE+DF=AD，

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，∴△MDP是等边三角形，∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，∵∠PAM=30°，∴∠MPD=60°，∵∠QPN=60°，∴∠MPE=∠FPD，在△MPE和△FPD中，∵∠PME=∠PDF，PM=PD，∠MPE=∠FPD，∴△MPE≌△FPD（ASA），∴ME=DF，∴DE+DF=AD；

（3）如图，在整个运动变化过程中，①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，

②当点E落在AD的延长线上时，DF－DE =AD．

（如图3，取AD中点M，连接PM，证明△MPE≌△DPF）