Question

【题目】阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，

截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；

（2）问题解决：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF．

（3）问题拓展：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；

（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．

（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=8，

AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案为：2＜AD＜10；

（2）证明：延长CB到G，使BG=DF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，

∴∠ADC=∠ABG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠BAD，

∴∠GAE=∠FAE，

在△AEG和△AEF中，

，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF=GE，

∴EF=BE+BG=BE+DF；

（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，

∵∠CAB=60°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

∴AB=2AC，

∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE=DH，AH=AE，

在Rt△DEF和Rt△DHB中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA=∠DBA，

在△DAF和△DRB中，

，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA=DR，

∴AH=HR=AE=AR，

∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE

∴AC-AE=AF．