Question

【题目】如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴ = ，

又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△CAE∽△CBF

（2）解：∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠CBF， ，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵ = ，AE=2

∴ = ，

∴BF= ，

∴EF2=BE2+BF2=3，

∴EF= ，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE= ．

【解析】（1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得 = ，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．