Question

【题目】如图1，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（2 ，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，
M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（2 ，1）代入y=

得k=2 ×1=2

（2）解：作BH⊥AD于H，如图1，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y=

得a=2 ，

∴B点坐标为（1，2 ），

∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°= ；

∵AD⊥y轴，

∴OD=1，AD=2 ，

∵tan∠DAC= = ，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（2 ，1）、C（0，﹣1）代入

得 ，

解 ，

∴直线AC的解析式为y= x﹣1

（3）解：设M点坐标为（t， ）（0＜t＜2 ），

∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，

∴N点的横坐标为t，

∴N点坐标为（t， t﹣1），

∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，

∴S△CMN= t（ ﹣ t+1）

=﹣ t2+ t+

=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2 ），

∵a=﹣ ＜0，

∴当t= 时，S有最大值，最大值为

【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2 ；（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2 ），则AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC= ；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2 ，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y= x﹣1；（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t， ）（0＜t＜2 ），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN= ﹣ t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN= t（ ﹣ t+1），再进行配方得到S=﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2 ），最后根据二次函数的最值问题求解．
【考点精析】通过灵活运用一次函数的性质和二次函数的最值，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．