Question

【题目】如图，中，，点在的延长线上，，于，交于点．

(1)如图1，请写出与的数量关系；

(2)如图2，若平分，，求证：；

(3)在(2)的条件下，如图3，连接，若是中点，是中点，，，，求的长．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 见解析；(3) .

【解析】

（1）根据三角形的内角和定理可得∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE，∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC，再结合已知条件即可证出结论；

（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理证出∠A=∠FEB，再结合（1）的结论可证∠FEB=∠DBE，根据平行线的判定证出EF∥BD，从而证出∠EFC=∠ACB=90°，再根据垂直的定义即可证出结论；

（3）连接AD、DF，根据三角形中线的性质可知S△ABF=S△BCF=2S△BCG，结合已知条件即可求出S△BCG=，再根据等高时，面积比等于底之比即可求出S△BDG=8，再根据三角形的面积公式即可求出结论．

解：（1）∠A=∠DBE，理由如下

∵

∴∠E=90°

∴∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE

∵

∴∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC

∵

∴∠A=∠DBE

（2）∵平分，

∴∠ABF=∠EBF

∵

∴∠A=180°－∠ABF－∠AFB=180°－∠EBF－∠EFB=∠FEB

由（1）知∠A=∠DBE

∴∠FEB=∠DBE

∴EF∥BD

∴∠EFC=∠ACB=90°，

∴；

（3）连接AD、DF

∵是中点，是中点，

∴S△ABF=S△BCF=2S△BCG

∵

∴S△ADF=S△ABF=3S△BCG，BC：CD==2:3

∴BC：BD=2:5

∵

∴

∴S△BCG=

∵S△BCG：S△BDG=BC：BD

即：S△BDG=2:5

解得S△BDG=8

∴BG·DE=8

∵

∴BG2=8

解得BG=4或-4（不符合实际，舍去）

即BG=4．