Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣2；（2）a≥或a≤﹣2．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；

（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），

∴a﹣b+3a＝0，

∴b＝4a，

∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，

∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；

（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，

∴B（0，4），C（﹣2，2），

∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），

①a＞0时，如图1，

将x＝0代入抛物线得y＝3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴3a≥4，

解得a≥，

②a＜0时，如图2，

将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴﹣a≥2，

解得a≤﹣2；

综上所述，a≥或a≤﹣2．