Question

【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．
原题：如图①，点 分别在正方形 的边 上， ，连接 ，则 ，试说明理由．

（1）思路梳理
因为 ，所以把 绕点 逆时针旋转90°至 ，可使 与 重合．因为 ，所以 ，点 共线．
根据 ， 易证 ， 得 .请证明．
（2）类比引申
如图②，四边形 中， ， ，点 分别在边 上， .若 都不是直角，则当 与 满足等量关系时， 仍然成立，请证明．

（3）联想拓展
如图③，在 中， ，点 均在边 上，且 .猜想 应满足的等量关系，并写出证明过程．

Answer 1

【答案】
（1）SAS；△AFE
（2）解：∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，
∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2 ， 理由如下：
根据ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACD′，如图，连接ED′．

∴ΔABDΔACD′．
∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′ AC．
在RtΔABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′ CE=90°，
∴D’C2+CE2=D′E2 ．
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′ AE=45°．∴ΔAD′ EΔADE，∴ED=ED′，
∴DE2=BD2+EC2 ．
【解析】（1）解：∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∵AE=AG，∠EAF=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF
（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF。
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同。
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2 ， 证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2。