Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E、F分别在AD和AB上，AE=3，AF=4．

（1）点P在边BC上运动、四边形EFPH是平行四边形，连接DH．

①当四边形FPHE是菱形时，线段BP=_____；

②当点P在边BC上运动时，△DEH的面积会不会变化？若变化，求其最大值；若不变，求出它的值；

③当△DEH是等腰三角形时，求BP的长；

（2）若点E沿E-D-C向终点C运动，点F沿F-B-C终点C运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，当其中一个点到达终点C时，另一个点也停止运动，求EF的中点O的运动路径长(要求写出简略的计算过程)

Answer 1

【答案】（1）①3；②不变，10；③3或2.5或2；（2）

【解析】

（1）①由菱形的性质知EF=PF，再由Rt△AEF≌Rt△BPF即可得BP=AE=3；

②过H作MN∥AB，延长EH与BC相交于G，易得四边形ABNM为矩形，然后证明△BPF≌△MEH，可得MH=BF=4，则△DEH的面积不变；

③分别讨论EH=HD，EH=ED，HD=ED，利用等腰三角形的性质求解；

（2）易得运动3秒后停止运动，建立坐标系，计算得出1秒，秒，3秒时，E，F的坐标，从而得到中点O的坐标，即可得出运动路径长．

（1）①∵四边形FPHE是菱形

∴EF=PF

在Rt△AEF和Rt△BPF中，

∵EF=PF，AF=BF=4

∴Rt△AEF≌Rt△BPF（HL）

∴BP=AE=3；

②如图，过H作MN∥AB，延长EH与BC相交于G，

∵AM∥BN，MN∥AB

∴四边形ABNM为平行四边形

又∵∠A=90°

∴四边形ABNM为矩形

∴MN⊥BN

∴MH为△DEH的高

∵EG∥FP

∴∠HGN=∠FPB

∵∠HGN+∠GHN=90°，∠FPB=∠PFB=90°

∴∠PFB=∠GHN

又∵∠GHN=∠EHM

∴∠PFB=∠EHM

在△BPF和△MEH中，

∠PBF=∠EMH=90°，∠PFB=∠EHM，PF=EH

∴△BPF≌△MEH（AAS）

∴MH=BF=4，

∴△DEH的高为4，底边长为8-3=5

S△DEH=

即△DEH的面积不变，为10

③当EH=HD时，EM=MD=ED=

∴BP=EM=

当EH=ED时，EH=PF=ED=5

在Rt△BPF中，

当HD=ED时，

在Rt△DHM中，

EM=5-3=2

∴BP=EM=2

综上所述，BP的长为3或2.5或2

（2）E点运动到C需要时间为秒，F点运动到C需要时间为秒，

∴运动3秒时，停止运动

如图建立坐标系，则E(3,8)，F(0,4)，O(,6)

1秒时，F运动到B点，坐标F1(0,0)，E点运动到E1(6,8)

此时中点O1（3,4）

秒时，E点运动到D，坐标E2（8,8）

F点运动到F2，坐标为（,0），则中点O2（,4）

3秒时，E点运动到E3，坐标为（8,4）

F点运动到C点，坐标为（8,0），则中点O3（8,2）

∴中点O的运动路径长为