Question

【题目】如图，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切与点P，直线CD垂直平分PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE＝DB。已知AB＝6，设OA＝r。

（1）求证：OP∥ED；

（2）当∠ABP＝30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形；

（3）过点O作OF⊥DE于点F，如图所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）EF＝3

【解析】试题分析：根据BP为的切线，得到，，可以推出

，进而证明平行.

根据所对的直角边等于斜边的一半，列出方程，求出半径，根据扇形的面积公式进行即可即可.根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明.

根据题意可知，OP∥ED；点是的中点，则点是的中点，可以用表示出， 即可求出的长.

试题解析：

（1）∵BP为的切线

，

∵，

∴,

∴OP∥ED；

（2）在Rt△OBP中，

∴

在Rt△OBP中，

即

解得：

S扇形AOP=,

证明：∵

∴

∵

∴是等边三角形

又∵

∴

∴DE与PB互相垂直平分，

∴四边形PDBE是菱形.

（3）线段EF的长度是不会随r的变化而变化，

根据题意可知，OP∥ED；点是的中点，则点是的中点，

线段EF的长度是不会随r的变化而变化，