Question

【题目】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y =－2x－1与y轴交于点A，与直线y =－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-1（2）①点P的坐标为（1+，1+）或（1-，1-）②2

【解析】

试题分析：（1）根据直线y =－2x－1与y轴交于点A，与直线y =－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C，构造方程组可求A、B、C的坐标；然后利用待定系数法设出二次函数的解析式，代入点的坐标可求解析式；

（2）①如图1，根据点P在抛物线上，可设P点的坐标为（m，），根据菱形的对角线互相垂直平分的性质知PQ在直线y=x上，因此可求得m的值，即可求P点的坐标；

②如图2，设点P的坐标为（t，t2 - t - 1）．过点P作PD∥y轴，交直线y = - x于点D，则D（t，- t）．分别过点B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分别为点E，F．可以表示出PD的长的关系式，以及BE+CF值，从而表示出，然后可求菱形的面积，根据二次函数的最值的性质求得四边形的最大面积．

试题解析：解：（1）解方程组得

∴点B的坐标为（-1，1）

∵点C和点B关于原点对称，

∴点C的坐标为（1，-1）．

又∵点A是直线y=-2x-1与y轴的交点，

∴点A的坐标为（0，-1）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∴

解得

∴抛物线的解析式为y=x2-x-1．

（2）①如图1，∵点P在抛物线上，

∴可设点P的坐标为（m，m2-m-1）．

当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心，

∴PQ⊥BC，即点P，Q在直线y = x上，

∴m = m2-m-1，

解得m = 1±．

∴点P的坐标为（1+，1+）或（1-，1-）．

②方法一：

如图2，设点P的坐标为（t，t2 - t - 1）．

过点P作PD∥y轴，交直线y = - x于点D，则D（t，- t）．

分别过点B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分别为点E，F．

∴PD = - t -（ t2 - t -1）= - t2 + 1，BE + CF = 2，

∴＝PD·BE +PD·CF

＝PD·（BE + CF）

＝（- t2 + 1）×2

＝- t2 + 1．

∴＝-2t2+2．

∴当t＝0时，有最大值2．

方法二：

如图3，过点B作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两直线交于点D，连接PD．

∴S△PBC＝S△BDC-S△PBD-S△PDC

＝×2×2-×2（t+1）-×2（t2-t-1+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴当t＝0时，有最大值2．

方法三：如图4，过点P作PE⊥BC，垂足为E，作PF∥x轴交BC于点F．

∴PE=EF．

∵点P的坐标为（t，t2-t-1），

∴点F的坐标为（-t2+t+1，t2-t-1）．

∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1．

∴PE＝（-t2+1）．

∴S△PBC＝BC·PE＝××（-t2+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴当t＝0时，有最大值2．