Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，

∴CB=CF，

又∵AC=CF，

∴CB= AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABF=90°

∴直线BF是⊙O的切线

（2）解：连接DO，EO，

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，

∴∠AOD=60°，

又∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠OAD=60°，

又∵∠ABF=90°，AD=5，

∴AB=10，

∴BF=10 ；

扇形DOE的面积= = π．

【解析】（1）证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；（2）连接DO，EO，根据题意证明△AOD是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式： 求出扇形DOE的面积．
【考点精析】本题主要考查了扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．