Question

【题目】如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；

（2）根据全等到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形

试题解析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AD=CD，

∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，

∴AE=CF，

∵EF为线段AC的垂直平分线，

∴EC=EA，FC=FA，

∴EC=EA=FC=FA，

∴四边形AECF为菱形