Question

【题目】如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠ABF=∠ECF，

∵EC=DC，∴AB=EC，

在△ABF和△ECF中，

，

∴△ABF≌△ECF（AAS）

（2）证明：∵AB=EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠AFC=2∠D，

∴∠AFC=2∠ABC，

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形

【解析】（1）先平行四边形的对边平行且相等可证明AB∥CE，且AB=CE，然后依据平行线的性质可证明∠ABF=∠ECF，最后，依据AAS可证明△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FB，从而可证明AE=BC，故此可证明四边形ABEC为矩形.