Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（﹣4，0）处．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点A出发以每秒4 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，8），D（﹣4，0），

∴OC=8，OD=4，

设OB=a，则BC=8﹣a，

由折叠的性质可得：BD=BC=8﹣a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

则（8﹣a）2=a2+42，

解得：a=3，

则OB=3，

则B（0，3），

tan∠ODB= = ，

由折叠的性质得：∠ADB=∠ACB，

则tan∠ACB=tan∠ODB= ，

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB= = ，

则OA=6，

则A（6，0），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

则 ，

解得： ，

故直线AB的解析式为：y=﹣ x+3

（2）

解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，

则AB= =3 ，tan∠BAO= = ，cos∠BAO= = ，

在Rt△PQA中，∠APQ=90°，AP=4 t，

则AQ= =10t，

∵PR∥AC，

∴∠APR=∠CAB，

由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，

∴∠BAO=∠APR，

∴PR=AR，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，

∴∠PQA=∠QPR，

∴RP=RQ，

∴RQ=AR，

∴QR= AQ=5t，

即d=5t；

（3）

解：过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，

∵EF=QR，

∴NS=NT，

∴四边形NTOS是正方形，

则TQ=TR= QR= t，

∴NT= AT= （AQ﹣TQ）= （10t﹣ t）= t，

分两种情况，

若点N在第二象限，则设N（n，﹣n），

点N在直线y=﹣ x+3上，

则﹣n=﹣ n+3，

解得：n=﹣6，

故N（﹣6，6），NT=6，

即 t=6，

解得：t= ；

若点N在第一象限，设N（N，N），

可得：n=﹣ n+3，

解得：n=2，

故N（2，2），NT=2，

即 t=2，

解得：t= ．

故当t= 或t= 时，QR=EF，N（﹣6，6）或（2，2）．

【解析】（1）由C（0，8），D（﹣4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8﹣a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8﹣a）2=a2+42 ， 解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR∥AC与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求得答案．