Question

【题目】如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点，与轴交于点，连接，设点运动的时间为秒．

（1）线段 （用含的式子表示），点的坐标为 （用含的式子表示），的度数为 ．

（2）经探究周长是一个定值，不会随时间的变化而变化，请猜测周长的值并证明．

（3）①当为何值时，有．

②的面积能否等于周长的一半，若能求出此时的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（t，t），45°；（2）△POE周长是一个定值为10，理由见解析；（3）①当t为（5-5）秒时，BP=BE；②能，PE的长度为2．

【解析】

（1）由勾股定理得出BP的长度；易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．
（2）延长OA到点F，使得AF=CE，证明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．再证明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．即可得出答案；
（3）①证明Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．得出AP=CE．则PO=EO=5-t．由等腰直角三角形的性质得出PE=PO=（5-t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，证明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．证明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．得出方程（5-t）=2t．解得t=5-5即可；
②由①得：当BP=BE时，AP=CE．得出PO=EO．则△POE的面积=OP2=5，解得OP=，得出PE=OP-=2即可．

解：（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t，
∴AO=PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∴BP=，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：，（t，t），45°．
（2）△POE周长是一个定值为10，理由如下：
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=5+5=10．
∴△POE周长是定值，该定值为10．
（3）①若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=5-t．
∵∠POE=90°，
∴△POE是等腰直角三角形，
∴PE=PO=（5-t）．
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴（5-t）=2t．
解得：t=5-5，
∴当t为（5-5）秒时，BP=BE．
②△POE的面积能等于△POE周长的一半；理由如下：
由①得：当BP=BE时，AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO．
则△POE的面积=OP2=5，
解得：OP=，
∴PE=OP==2；
即△POE的面积能等于△POE周长的一半，此时PE的长度为2．