Question

【题目】如图所示，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，连结DE，EF，FD，得到△DEF为等边三角形．

求证：(1)△AEF≌△CDE；

(2)△ABC为等边三角形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

(1)关键是证出CE=AF,可由AE=AB,AC=BF,两两相加可得.再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE .
(2)有(1)中的全等关系,可得出∠AFE=∠CED,再结合△DEF是等边三角形,可知∠DEF=60°,从而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而△ABC是等边三角形.

(1)∵BF＝AC，AB＝AE，

∴BF＋AB＝AC＋AE，即FA＝EC.

∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.

又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.

(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.

∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°.

∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，

∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．