Question

【题目】如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧 上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH= ，求EH的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，

作OH⊥PE，

∴∠OHP=90°，

∵∠PAE=90，

∴∠OHP=∠OAP，

∵PO是∠APE的角平分线，

∴∠APO=∠EPO，

在△PAO和△PHO中

，

∴△PAO≌△PHO，

∴OH=OA，

∵OA是⊙O的半径，

∴OH是⊙O的半径，

∵OH⊥PE，

∴直线PE是⊙O的切线

（2）

解：如图2，连接GH，

∵BC，PA，PB是⊙O的切线，

∴DB=DA，DC=CH，

∵△PBC的周长为4，

∴PB+PC+BC=4，

∴PB+PC+DB+DC=4，

∴PB+AB+PC+CH=4，

∴PA+PH=4，

∵PA，PH是⊙O的切线，

∴PA=PH，

∴PA=2，

由（1）得，△PAO≌△PHO，

∴∠OFA=90°，

∴∠EAH+∠AOP=90°，

∵∠OAP=90°，

∴∠AOP+∠APO=90°，

∴∠APO=∠EAH，

∵tan∠EAH= ，

∴tan∠APO= = ，

∴OA= PA=1，

∴AG=2，

∵∠AHG=90°，

∵tan∠EAH= = ，

∵△EGH∽△EHA，

∴ = ，

∴EH=2EG，AE=2EH，

∴AE=4EG，

∵AE=EG+AG，

∴EG+AG=4EG，

∴EG= AG= ，

∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，

∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）= ×（ +2）= ，

∴EH=

【解析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；
　　　　（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出OA．