Question

【题目】已知：AB是⊙O的弦，点C是 的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．
（1）如图1，求证：AD=BD；
（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是 上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OA，

∵C是 的中点，

∴ ，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OA=OB，

∴OD⊥AB，AD=BD；

（2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT

∵BT是⊙O的直径

∴∠BPT=90°，

∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，

∵BM是⊙O的切线，

∴OB⊥BM，

又∠OBA+∠MBA=90°，

∴∠ABO=∠OMB

又∠ABO=∠APT

∴∠APB﹣90°=∠OMB，

∴∠APB﹣∠OMB=90°；

（3）解：如图3，连接MA，

∵MO垂直平分AB，

∴MA=MB，

∴∠MAB=∠MBA，

作∠PMG=∠AMB，

在射线MG上截取MN=MP，

连接PN，BN，

则∠AMP=∠BMN，

∴△APM≌△BNM，

∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，

延长PD至点K，

使DK=DP，

连接AK、BK，

∴四边形APBK是平行四边形；

AP∥BK，

∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，

由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）

=90°，

∴∠APB+∠MBA=180°

∴∠PBK=∠MBA，

∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，

∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，

∴∠NBP=∠KBP，

∵PB=PB，

∴△PBN≌△PBK，

∴PN=PK=2PD，

过点M作MH⊥PN于点H，

∴PN=2PH，

∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，

∵sin∠PMH= ，sin∠ABO= ，

∴ ，

∴ ，设DP=3a，则PM=5a，

∴MQ=6DP=18a，

∴ ．

【解析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论；（3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH= ，sin∠ABO= ，设DP=3a，则PM=5a，可得结果．