Question

【题目】如图，菱形 的对角线交于点 是线段上一动点， E 是线段 AB上一个动点，则 的最小值为 ____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

本题中BP+EP是折线段，要想最小，故想办法将折线段拉直，故过B点作AC的对称点，刚好为D点，连接DP，则发现DP=BP，故相当于求DP+PE的最小值，根据点到直线的距离垂线段最短知：过D点作AB的垂线，交AB于H点，DH即为最小值，再利用菱形等面积法求DH的长.

解：过B点作AC的对称点，由菱形对称性知刚好落在D处，连接DP，

则BP=DP，故BP+EP=DP+EP，

过D点作DH⊥AB于H点，

∴ 当E、P、D三点共线，且DE⊥AB时，由点到直线的距离垂线段最短知：

此时DP+EP有最小值，为DH长.

又四边形ABCD为菱形，DH⊥AB，

∴由菱形的等面积法知：AB×DH=×AC×BD，且AB=5，代入数据：

∴ 5×DH=×8×6，故DH=.

故答案为：.