Question

【题目】如图，正方形的边长为 1 ， 是对角线 ． 将 绕着点 D 顺时针旋转 得到 交 于点 E ，连接 交 于点 ，连接 ． 下列结论： ① ；② ； ③ ； ④． 其中结论正确的个数是（ ）

A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由旋转可以得到△DCB≌△DGH，故有DB=DH=，且∠H =45°，推出△AHE为等腰直角三角形，由∠EBG=45°，推出△EGB也为等腰直角三角形，且HE=BE，推出△AEH≌△GEB；由△AFD∽△HED，求出AF==EG，推出四边形AFGE是平行四边形，由AE=EG，推出四边形AFGE是菱形，由此可以求出∠AFG=∠AEG=135°，由此可以求出AB+AF=.

解：∵△DCB绕点D旋转45°得到△DGH，∴△DCB≌△DGH，

∴ DB=DH=，且∠H=∠DBC=45°，

∴△AHE为等腰直角三角形，∴ AE=AH=DH-AD=，

BE=AB-AE=，

∵∠AEH=∠BEG=45°，∠EBG=45°，

∴△EGB也为等腰直角三角形，EG=，∴EG=AE，

∴ △AEH≌△GEB，∴AE=EG，故②正确

设AC与BD相交于O点，又∠DGB=90°=∠AOB=90°，

∴EG∥AO，故△AFD∽△HED,∴，

∴AF==EG，∴四边形AFGE为平行四边形，且AE=EG

∴四边形AFGE为菱形，故有FG=EG，故①正确；

∵四边形AFGE为菱形,

∴∠AFG=∠AEG=180°-∠BEG=180°-45°=135°，故③正确；

AB+AF=，故④错误.

故答案选：C.