Question

【题目】定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．
（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵nn（n﹣1）÷[n+n（n﹣1）]=n2（n﹣1）÷n2=n﹣1，

∴n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是祖冲之数组．

（2）解：∵ = ， = ， = 都是整数，

∴a是5，9，11的倍数，

∴满足条件的所有三位正整数a为495或990．

【解析】（1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．（2）首先判断出a是5，9，11的倍数，由此即可解决问题．