Question

【题目】已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．

（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．

（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．

①用含b的代数式表示m、n的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+5；（2）y=﹣（x﹣2）2﹣1；（3）①m=b，n=﹣2×b+b=﹣b，②P点坐标为：（b，b）；（b，b）；（b，﹣b）；（b，b）．

【解析】试题分析：（1）利用抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可；

（2）首先得出点A的坐标为（0，﹣3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可；

（3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；

②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标．

解：（1）由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，

∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），

设所求直线解析式为y=kx+b，

∴，

解得：，

∴所求直线解析式为y=﹣2x+5；

（2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，﹣3），

点C的坐标为（0，3），

可得：AC=6，

∵平行四边形ABCD的面积为12，

∴S△ABC=6即S△ABC=ACBE=6，

∴BE=2，

∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上，

∴顶点B的坐标为（2，﹣1），

又抛物线经过点A（0，﹣3），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x﹣2）2﹣1；

（3）①如图，作BF⊥x轴于点F，

由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），

∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上，

∴n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），

在矩形ABCD中，CO=BO．

∴b=，

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，

∴m=b，n=﹣2×b+b=﹣b，

②∵B点坐标为（m，n），即（b，﹣b），

∴BO==b，

∴BD=2b，

当BD=BP，

∴PF=2b﹣b=b，

∴P点的坐标为（b，b）；

如图3，当DP=PB时，

过点D作DE⊥PB，于点E，

∵B点坐标为（b，﹣b），

∴D点坐标为（﹣b，b），

∴DE=b，BE=b，设PE=x，

∴DP=PB=b+x，

∴DE2+PE2=DP2，

∴+x2=（b+x）2，

解得：x=b，

∴PF=PE+EF=b+b=b，

∴此时P点坐标为：（b，b）；

同理P可以为（b，﹣b）；（b，b），

故P点坐标为：（b，b）；（b，b）；（b，﹣b）；（b，b）．