Question

【题目】如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为___________.

Answer 1

【答案】2或

【解析】如图（1）过点P作PD⊥OB于点D，过C作CE⊥OA于E，∴∠PDO=∠PEC=90°，

∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=t，∴BD=4-t，PD=t，

∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，

∴∠BPC=60°，BP=2PC，∵∠OPD=30°，

∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE，

∴△PCE∽△BPD，

∴，

∴ ，

∴CE=t，PE=2-t，OE=2+t，

如图（2）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PFAF，

∵PF=2-t，AF=4-OF=2-t， CF=t，

∴（t）2=（2-t）（=2-t），

∴t=2，这时P是OA的中点；

如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE，

∴2+t=4，∴t=，

故答案为：2或.