Question

【题目】如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．

（1）点A的坐标为　　，矩形ABCD的面积为　　；

（2）求a，b的值；

（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），8　；（2）a＝a=2，b＝9；（3）S=．

【解析】

（1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；

（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；

（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=SBEFG+SABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=SABCD﹣SCEF．

解：（1）令直线y=x﹣4的y=0得：x﹣4=0，解得：x=4，

∴点M的坐标为（4，0）．

由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，

∴点A的坐标为（1，0）

沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，

∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣1，

∴点A的坐标为 （1，0）；

由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，

∴点D的坐标为（﹣3，0）．

∴AD=4．

∴矩形ABCD的面积=ABAD=4×2=8．

（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．

∵点A的坐标为（1，0），

∴点B的坐标为（1，2）

设直线MN的解析式为y=x+c，

将点B的坐标代入得；1+c=2．

∴c=1．

∴直线MN的解析式为y=x+1．

将y=0代入得：x+1=0，解得x=﹣1，

∴点E的坐标为（﹣1，0）．

∴BE=．

∴a=2

如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．

∵点D的坐标为（﹣3，0），

∴点C的坐标为（﹣3，2）．

设MN的解析式为y=x+d，将（﹣3，2）代入得：﹣3+d=2，解得d=5．

∴直线MN的解析式为y=x+5．

将y=0代入得x+5=0，解得x=﹣5．

∴点F的坐标为（﹣5，0）．

∴b=4﹣（﹣5）=9．

（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．

∴s=0．

当3≤t＜5时，如图3所示；

S=；

当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．

由（2）可知点G的坐标为（﹣1，0）．

∴FG=t﹣5．

∴S=SBEFG+SABG=2（t﹣5）+=2t﹣8．

当7≤t≤9时，如图5所示．

FD=t﹣7，CF=2﹣DF=2﹣（t﹣7）=9﹣t．

S=SABCD﹣SCEF=．

综上所述，S与t的函数关系式为S=