Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx（m＞0且m≠1）与x轴交于原点O和点A，点B的坐标为（1，﹣1），连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连结OB、OC．

（1）求点A的横坐标．（用含m的代数式表示）．
（2）若m=3，则点C的坐标为 ．
（3）当点C与抛物线的顶点重合时，求四边形ABOC的面积．
（4）结合m的取值范围，直接写出∠AOC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+mx与x轴交于点A，

∴﹣x2+mx=0，解得x=0或m，

∴点A的横坐标为m．

（2）（2，2）
（3）

解：如图2中，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．

由（2）可知△ADB≌△CEA，

∴BD=AE，AD=CE

∵B（1，﹣1），A（m，0），

∴OE=m﹣1，CE=m﹣1，

∴C（m﹣1，m﹣1），

∵点C（m﹣1，m﹣1）与抛物线的顶点（ ， ）重合，

∴m﹣1= ，

∴m=2．

∴S四边形ABOC= ×2×（1+1）=2．

（4）

解：①如图3中，当O＜m＜1时，∠AOC=135°，理由如下：

作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M．

∵∠NAC+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，

∴∠NAC=∠ABM，

在△ACN和△BAM中，

，

∴△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=1，CN=AM，

∴AN=OM=1，

∴ON=CN，

∴∠NOC=∠NC0=45°，

∴∠AOC=135°

②当m＞1时，∠AOC=45°，理由如下：

作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M，∵△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=OM=1，AM=CN，

∴ON=AM=CN，∵∠ONC=90°，

∴∠COA=45°．

【解析】解：（2）如图1中，∵m=3，
∴点A坐标为（3，0），
作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD=AE=1，AD=CE=2，
∴点C坐标（2，2）．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．