Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q

（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）

（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；

（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，，①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）△MPQ是等腰三角形；（3）．

【解析】

试题分析：（1）作线段CM的垂直平分线即可；

（2）由矩形的性质得出AB∥CD，CD=AB=10，得出∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得出PQ是CM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ=MQ，由ASA证明△OCQ≌△OMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；

（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出，即可得出结果；

②当直线PQ恰好通过点D时，Q与D重合，DM=DC=10，由勾股定理求出AM，得出BM，再由勾股定理求出CM，即可得出结果．

试题解析：（1）如图1所示：

（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=10，∴∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，∴CQ=MQ，OC=OM，在△OCQ和△OMP中，∵∠QCO=∠PMO，OC=OM，∠COQ=∠MOP，∴△OCQ≌△OMP（ASA），∴CQ=MP，∴MP=MQ，即△MPQ是等腰三角形；

（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：

则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得：，即，整理得：，即（0≤x≤10）；

②当直线PQ恰好通过点D时，如图3所示：

则Q与D重合，DM=DC=10，在Rt△ADM中，AM==8，∴BM=10﹣8=2，∴CM===，∴d=CM=，即点M到直线PQ的距离为．