Question

【题目】猜想与证明： 如图，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，EM．

（1）试猜想写出DM与EM的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸：
（2）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：DM=EM．

理由：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和ECGF是矩形，

∴AD//EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

，

∴△FME≌△AMH，

∴HM=EM，

在直角△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=EM，

∴DM=EM．

（2）解：成立．（证明方法类似）
【解析】（1）结论：DM=EM．只要证明△FME≌△AMH，推出HM=EM，在直角△HDE中利用斜边中线的性质即可证明．（2）结论不变．证明方法类似．
【考点精析】利用矩形的性质和正方形的判定方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．