Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC//FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：连接BC，

在Rt△ACE中，AC= = = ，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴ = ，

∴ ，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．

【解析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC//FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．