Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.

①求证；

②求点的坐标.

（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；

（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；

②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；

（Ⅲ）.

（Ⅰ）∵点，点，

∴，.

∵四边形是矩形，

∴，，.

∵矩形是由矩形旋转得到的，

∴.

在中，有，

∴ .

∴.

∴点的坐标为.

（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.

又点在线段上，得.

由（Ⅰ）知，，又，，

∴.

②由，得.

又在矩形中，，

∴.∴.∴.

设，则，.

在中，有，

∴.解得.∴.

∴点的坐标为.

（Ⅲ）.