Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的三个顶点A（0，10），B（8，10），C（8，0），过O、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与线段AB交于点D，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请问当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）若点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、C、E为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，

∴△BDC≌△EDC，

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，

由勾股定理易得：EO=6．

∴AE=10﹣6=4，

设AD=x，则BD=ED=8﹣x，

由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，

解得，x=3，

∴AD=3，

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），

则 ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x

（2）解：如图1，

当CP=CQ时，

10﹣2t=t，t= ；

如图2，当CP=PQ时，

= ，t= ；

如图3，当CQ=PQ时，

= ，t=

（3）解：假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：

EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，

若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；

则：M（4， ）；

而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，

则N（4，﹣ ）；

②EC为平行四边形的边，则EC∥MN，设N（4，m），

则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，

此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，

此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32），

综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4， ），N3（4，﹣ ）．

【解析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）分CP=CQ、CP=PQ、PQ=CQ三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．