Question

【题目】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足, ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．

（1）求k的值；

（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；

Answer 1

【答案】(1)k=4; (2)P(1,4),Q(0,6)或P(-1,-4),Q(0,-6)或P(-1,-4),Q(0,2).

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标.

（1）∵，

∴，

解得：，

∴A（-1，0），B（0，-2），

∵E为AD中点，

∴xD=1，

设D（1，t），

又∵DC∥AB，

∴C（2，t-2），

∴t=2t-4，

∴t=4，

∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，

∴设Q（0，y），P（x，），

①当AB为边时：

如图1，若ABPQ为平行四边形，

则=0，

解得x=1，

此时P1（1，4），Q1（0，6）；

如图2，若ABQP为平行四边形，

则，

解得x=-1，

此时P2（-1，-4），Q2（0，-6）；

②如图3，当AB为对角线时，

AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，

解得x=-1，

∴P3（-1，-4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）；