Question

【题目】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理发现某种商品的销售量P（件）与销售时间x天（1≤x≤90，且x为整数）成一次函数关系，具体数量关系如下表．已知商品的进价为30元/件，该商品的售价y（元/件）与销售时间x天的函数关系如图所示，每天的销售利润为w（元）．

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．

【解析】分析：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，代入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

详解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b．

∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

当50＜x≤90时，y=90，∴售价y与时间x的函数关系式为y=．

由每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n．

∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当0≤x≤50时，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是

w=．

（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050．

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．

当50＜x≤90时，=﹣120x+12000．

∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．

∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；

当50≤x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50≤x≤53．

∵x为整数，∴50≤x≤53，53﹣50+1=4（天）．

综上可知：21+4﹣1=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．