Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为AB上面半圆上一点，点D为AB的下面半圆的中点，连接CD与AB交于点E，延长BA至F，使EF=CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若DEDC=13，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC、OD．

∵ = ，

∴OD⊥AB，∠AOD=90°，

∵FE=FC，

∴∠FCE=∠FEC，

∵OC=OD，

∴∠OCE=∠ODC，

∴∠FCO=∠FCE+∠OCE=∠FEC+∠EDO=∠OED+∠ODC=90°．

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙⊙O的切线

（2）解：连接BC、BD．

∵ = ，

∠EBD=∠BCD，

∵∠BDE=∠CDB，

∴△BDE∽△CDB，

∴ = ，

∴BD2=CDED=13，

∵∠BOD=90°，

∴OB2+OD2=BD2=13，

∴OB2= ，

∴OB= ，

∴⊙O的半径为

【解析】（1）欲证明CF与⊙O相切，只要证明OC⊥CF即可．（2）由△BDE∽△CDB，推出 = ，推出BD2=CDED=12，由∠BOD=90°，推出OB2+OD2=BD2=12，推出OB2=6，可得OB= 解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．