Question

【题目】如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求GC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

（1）根据翻折的性质可得AF=AB，∠AFG=90°，然后利用“HL”证明 Rt△ABG和Rt△AFG全等即可；

（2）先求出DE、CE的长，从而得到EF，设BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的长，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，继而则可求得CG的长.

（1）在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，

又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，

∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，

即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)；

（2）∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，

∴DE=FE=2，CE=4，

不妨设BG=FG=x，（x＞0），

则CG=6-x，EG=2+x，

在Rt△CEG中，（2+x）2=42+（6-x）2，

解得x=3，

∴GC=BC-BG=6-3=3.