Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1、x2 ， 求x +x 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根

（2）解：∵方程的两根分别为x1、x2，

∴x1+x2=2m+1，x1x2=m（m+1），

∴ + = ﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2m（m+1）=2m2+2m+1=2 + ，

∴ + 的最小值为

【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2m+1、x1x2=m（m+1），利用配方法可将 + 变形为 ﹣2x1x2 ， 代入数据即可得出 + =2 + ，进而即可得出 + 的最小值．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和根与系数的关系的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．