Question

【题目】正方形ABCD中，点E是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点F，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转90°到AG，点F与点G对应．AG、BD延长线交于点H．若AB=4，当F、E、G三点共线时，求S△BFH=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】试题解析：如图所示，连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，

AF绕点A顺时针旋转90°到AG，则AF=AG，∠FAG=90°，

即△AFG是等腰直角三角形，

又∵AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAF=∠DAG，

∴△ABF≌△ADG，

∴BF=DG，∠AFB=∠AGD，

∵Rt△ABE中，AB=4，AE=2，

∴BE=2，

∵∠AFG=∠AGF=45°，

∴∠AFB=135°=∠AGD，

∴∠DGE=135°﹣45°=90°，即DG⊥BE，

∵×BE×DG=×DE×AB，

∴DG=，

∴Rt△BDG中，BG=，

∵∠HGP=∠AGF=45°，∠P=90°，

∴△GPH为等腰直角三角形，

设PH=x，则PG=x，

∵DG∥PH，

∴△BDG∽△BHP，

∴，即，

解得x=，

∴PH=，

又∵BF=DG=，

∴S△BFH=BF×PH=××=．

故答案为： ．