Question

【题目】已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AE的表达式；

（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．

（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB为等腰三角形，S△OBF=8； （4）y=（0＜x＜8）．

【解析】试题分析: （1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可．

（2）根据S△AEB= ，即可解决问题．

（3）利用面积即可解决，方法类似（2）．

试题解析: （1）如图1中，

∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点，

∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．

∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，

∴OE=EM=x，

在△AEO和△AEM中，

，

∴△AEO≌△AEM，

∴AM=AO=6，

∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，

∴AB=10，

∴BM=4，

在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，

∴x2+42=（8-x）2，

∴x=3，

∴E（3，0），

设直线AE的解析式为y=kx+b则

，解得，

∴直线AE的解析式为y=-2x+6．

（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，

∵S△AEB=EBOA=AEBF，

∴BF=．

（3）如图2中，

在Rt△AOE中， ，

∴AE=，

∵S△AEB=EBOA=AEBF，

∴BF=，

∴y=（0＜x＜8）．