Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC为直径作 交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是 的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求 直径的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OD、CD．

∵AC为 的直径，

∴△BCD是直角三角形，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCD+∠DCE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，

∴DE是 的切线；

（2）解：设⊙O的半径为 ，

∵∠ODF=90°，∴ ，

即 ，解得： ，

∴ 的直径为6．

【解析】（1）连接OD、CD；易由圆周角定理的推论，可得△BCD是直角三角形，由E为BC的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易得BE=CE=DE，∠CDE=∠DCE；又由半径OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，利用等量代换可得∠BCA=90°，切线得证。
（2）易由（1）可得∠ODF=90°利用勾股定理可得半径r=3，所以直径为6.