Question

【题目】如图，△ABC中以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于D、E，过D作DF⊥BC于F，且D为弧AE的中点.

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若且AD=时，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）r=10

【解析】

（1）如图，作辅助线；证明AE∥DF；利用垂径定理的推论证明OD⊥AE，即可解决问题．

（2）连接AE交OD于H，根据圆周角的性质求得AE⊥BE，根据垂径定理求得OD⊥AE，从而求得OD∥BC，进而求得OH=BE，根据题意设BE=3x，则AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，进而得出AH=2x，OH=1.5x，DH=x，然后根据勾股定理求得AD=x，又因为AD=4，即可求得x=4，进而求得⊙O的半径．

证明：（1）如图，连接AE、OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴AE⊥BC，而DF⊥BC，

∴AE∥DF；

∵D为弧AE的中点

∴OD⊥AE，

∴OD⊥DF，

即DF为⊙O的切线．

（2）连接AE交OD于H，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BE，

∵D为弧AE的中点，

∴OD⊥AE，

∴OD∥BC，

∵OA=OB，

∴OH=BE，

在RT△ABE中，

，设BE=3x，则AB=5x，由勾股定理得，AE=4x，

∴AH=2x，OH=1.5x，

∴DH=OD-OH=2.5x-1.5x=x，

在RT△ADH中，AD=

∵AD=4，

∴x=4，

∴⊙O的半径=4×2.5=10．