Question

【题目】如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴正半轴上一点，并且，点是线段上一动点（不与端点重合），过点作轴，交于．

（1）求所在直线的解析式；

（2）若轴于，且点的坐标为，请用含的代数式表示与的长；

（3）在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在满足条件的点，其坐标为，或，或，．

【解析】

（1）由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；

（2）根据直线解析式可求得点的纵坐标，即可表示出的长，由轴则可得出点纵坐标，代入直线解析式可求得点横坐标，从而可表示出的长；

（3）设，当时，则有，则可得到关于x的方程，可求得点坐标；当时，则有，可求得点坐标；当时，过作，由等腰直角三角形的性质可知，可求得点坐标，从而可求得点坐标．

解：

（1）在中，令可得，令可求得，

，，

，，

，

，即，解得，

，

设直线解析式为，

，解得，

直线解析式为；

（2）轴，且，

点横坐标为，

在中，令，可得，

，

轴，

点纵坐标为，

在中，令，可得，解得，

在线段上，

；

（3）假设存在满足条件的点，设其坐标为，

为等腰直角三角形，

有、和三种情况，

①当时，则有，

由（2）可得，，

，解得，

，；

②当时，则有，

在中，令可得，

，

在中，令，可得，解得，

，

，解得，

，；

③当时，如图，过作于点，则，

由（2）可知，，

，解得，

，，

，

，；

综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或，．