Question

【题目】如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的角平分线于点，交的外角平分线于点．

（1）求证：；

（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．

（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由详见解析；（3）当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由详见解析．

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，， 得出，，即可得出结论；

（2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；

（3）由正方形的性质得出，得出即可．

（1），

，

又平分，

，

，

，

同理：，

．

（2）当点运动到的中点时，四边形是矩形．

当点运动到的中点时，，

又，

四边形是平行四边形，

由（1）可知，，

，

，即，

四边形是矩形．

（3）当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．

由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，

，

，

，

，

四边形是正方形．