Question

【题目】如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=4．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8-

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B=∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，BD=4，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=BD=2，
∵sin∠COD=，
∴OD=4，
在Rt△ACO中，tan∠COA=，
∴AC=4，
∴S阴影=×4×4-=8-．