Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别为E、F，请问OF与CD有怎样的数量关系？

Answer 1

【答案】OF=CD．理由见解析.

【解析】试题分析：连接AO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，根据同弧所对的圆周角相等可得∠G=∠ADB，再根据等角的余角相等求出∠DAE=∠BAG，然后根据相等的圆周角所对的弦相等可得CD=BG，根据垂径定理可得AF=BF，从而得到OF是△ABG的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF=BG．

试题解析：OF=CD．
理由如下：如图，连接AO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，
则∠G=∠ADB，
∵AC⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∵AG是直径，
∴∠BAG+∠G=90°，
∴∠DAE=∠BAG，
∴CD=BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF=BG，
故OF=CD．