Question

【题目】在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（如图①），设DE与BC相交于点F，试说明△DBF是等腰三角形，并求出其周长．

（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，周长；（2）

【解析】

（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求出BF的长度，再求出周长；

（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得．

(1)由折叠得，∠ADB=∠EDB，

在矩形ABCD中：∠C=90°，CD=AB=6,AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠FBD=∠FDB，

∴BF=DF，

设BF=x，则CF=8x，
在Rt△CDF中，

即
解得

∴

在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，

∴

∴△DBF的周长是：BF+DF+DB =

(2)由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8x，

在Rt△CDH中，
即
解得

连接BD、BG，

由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，

∴∠DHG=∠DGH，

∴DH=DG，

∴BH=DH=DG=BG，

∴四边形BHDG是菱形，

在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，

∴

∴S菱形BHDG=BDGH=BHCD，

即×10GH= ×6，

解得GH= ．