Question

【题目】已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．

（1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是.
（2）如图2，

若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连接AF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30°，

∴∠OAE=∠OAF=30°，

∴∠DAF=30°=∠ADO，

∴AF=FD，

∵AF=EF，

∴EF=FD；

∵∠AEF=60°，

∴∠BAE=30°=∠ABO，

∴AE=BE

（2）

解：成立，如图3，

连接CE，AF，

∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，

∴AD=CD，AE=EF，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠ADC=∠AEF=60°，

∴△ACD和△AEF是等边三角形，

∴AC=AD，AE=AF=EF，∠CAD=∠EAF=60°，

∴∠CAE=∠DAF，

在△ACE和△ADF中， ，

△ACE≌△ADF，

∴EC=DF，

∵BD垂直平分AC，

∴EC=AE，

∴DF=AE=EF

（3）

解：∵AE=CE，

∴∠ACE=∠CAE，

∵点C，E，G在同一条直线上，

∴∠AEG=2∠CAE=30°，

∴∠CAE=15°，

∵∠BAO=60°°，

∴∠BAE=75°，

∵∠ABO= ∠ABC=30°，

∴∠AEB=75°=∠BAE，

∴BE=AB，

在Rt△AOB中，∠ABO=30°，

∴cos∠ABO= = ，

∴OB= AB= BE，

∴BD=2OB= BE

【解析】（1）先利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；（2）先判断出△ACD和△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论；（3）先求出∠CAE=15°，进而判断出BE=AB，再找出OB与AB的关键，代换即可得出结论．