Question

【题目】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是BC上一点，连接AE．

（1）如图1，当∠BAE=15°，CE=时，求AB的长．

（2）如图2，延长BC至D，使DC=BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG=BE．

Answer 1

【答案】（1）3 （2）证明见解析

【解析】分析：(1)、根据题意得出△ABC为等腰直角三角形，根据题意得出∠CAE=30°，从而求出AE的长度，然后根据Rt△ACE的性质求出BC的长度，从而得出AB的长度；(2)、连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，根据旋转的性质得出△ADF和△ABE全等，从而证明△BCG和△DCF全等，从而得出答案．

详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∠BAE=15°，

∴∠CAE=30°，∵CE=，∴Rt△ACE中，AE=2CE=2，

∴由勾股定理可得，AC==3， ∴BC=3，

∴Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB==3；

（2）如图所示，连接AD，

线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE=AF，∠EAF=90°， ∵AC⊥BD，DC=BC，

∴AD=AB，∠ABE=∠ADC=45°，又∵DF⊥DC，∴∠ADF=45°=∠ABE，

∵∠AFD+∠AED=180°=∠AEB+∠AED， ∴∠AFD=∠AEB， ∴△ADF≌△ABE，

∴DF=BE， ∵BG⊥BC，∴∠CBG=∠CDF=90°， 又∵BC=DC，∠BCG=∠DCF，

∴△BCG≌△DCF，∴DF=BG， ∴BG=BE．