Question

【题目】解答题唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：

注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇 见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．
（1）列方程求壶中原有多少升酒；
（2）设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余an升酒，如第一次饮后所余酒为a1=2a0﹣19（升），第二次饮后所余酒为a2=2a1﹣19=2（2a0﹣19）﹣19=22a0﹣（21+1）×19（升），…．
①用an﹣1的表达式表示an ， 再用a0和n的表达式表示an；
②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．

Answer 1

【答案】解：（1）设壶中原有x升酒．
依题意得：2[2（2x﹣19）﹣19]﹣19=0，
去中括号，得4（2x﹣19）﹣3×19=0．
去括号，得：8x﹣7×19=0．
系数化1，得x=16，
答：壶中原有16升酒；
（2）①an=2an﹣1﹣19，
an=2na0﹣（2n﹣1+2n﹣2+…+1）×19，
（或an=2na0﹣（2n﹣1）×19）；
②当n=4时，a4=24a0﹣（23+22+21+1）×19．
（或写成a4=24a0﹣（24﹣1）×19）
∵在第4个店喝光了壶中酒，
∴24a0﹣（23+22+21+1）×19=0，
（或写成24a0﹣（24﹣1）×19=0）
即16a0﹣15×19=0．
解得：a0=17，
答：在第4个店喝光了壶中酒时，壶中原有17升酒．
【解析】（1）分别表示出酒壶中剩余的酒量，利用在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒进而得出等式求出答案；
（2）①利用已知第一次饮后所余酒为a1=2a0﹣19（升），第二次饮后所余酒为a2=2a1﹣19=2（2a0﹣19）﹣19=22a0﹣（21+1）×19（升），…，进而用a0和n的表达式表示an；
②利用①中所求，进而代入求出答案．