Question

【题目】如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一直线PQ，过点A作于点M，过点B作BNPQ于点N．

（1）如图①，当M、N在△ABC的外部时，MN、AM、BN有什么关系呢？为什么？

（2）如图②，当M、N在△ABC的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM、BN之间的数关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN=AM+BN，理由见解析；

（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM-BN．理由见解析.

【解析】

（1）先证明∠MAC=∠NCB，根据“AAS”证明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN；
（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，得出AM=CN，CM=BN，故MN=CN-CM=AM-BN．

（1）MN=AM+BN，理由是：

∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；

即MN=AM+BN；

（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM-BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN．