【题目】学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．

（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：

（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；

（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，且BO、CO相交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系式为　　　　_．

参考答案：

【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；

（2）∠BOC=90°+∠A．理由见解析；

（3）∠BOC=60°+∠A．理由见解析.

【解析】

（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+∠A；
（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+∠A．

解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．
理由：

如图1，连接AO，延长AO到H．

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，
∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，
∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）∠BOC=90°+∠A．
理由：

如图2，

∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A；
（3）∠BOC=60°+∠A．
理由：

∵∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A=60°+∠A．
故答案为：∠BOC=60°+∠A．

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